第二节 投资组合理论
绝大部分资产和投资项目介于无风险资产和具有市场平均风险资产之间。因此，我们在估计这些资产或投资项目的贴现率之前，应该重点了解风险和要求的风险溢酬之间的关系。20世纪50年代，马科维茨提出了投资组合理论，解释了这一关系。本节将介绍投资组合理论中的期望收益率和风险、有效集以及资本市场线。
一、投资组合的收益率与风险
资产投资组合理论建立在完美市场假说（perfect market assumptions）的基础之上，该假说的主要内容为：第一，市场是无摩擦的，即无税、无交易成本等；第二，投资者是理性的；第三，平等的市场准入价格；第四，获得免费信息的平等机会。
当投资者的投资目标是多个或一组金融资产时，表示投资者在进行组合投资，投资者所拥有的金融资产称为投资组合（portfolio）。由于风险是有害的，投资者厌恶风险。因此，在期望收益率一定的情况下，投资者偏好风险最低的投资组合；或者在风险一定的情况下，偏好期望收益率最大的投资组合。
设有一个由n种资产构成的投资组合，其中，在第i种金融资产上的投资额占总投资额的权重为ωi，每种金融资产的期望收益率、方差以及协方差见表3-5和表3-6，则该投资组合的收益率 
为：
该投资组合的期望收益率为：
该投资组合的方差为：
该投资组合的标准差为：
表3-7可以更直观地表明在投资组合中，每种金融资产的方差及协方差在整个组合方差中所占的比例。
二、投资组合的有效集
在组合投资时，将所有可供选择的金融资产均视为投资对象，并将投资金额合理地分配在各个可供选择的金融资产上，目标是获得一个最优的投资组合（optimal portfolio）。
运用期望收益—方差分析法（mean-variance analysis）评价投资组合，确定投资组合的可行集。在可行集中确定有效集，即选择那些在期望收益率一定时标准差最小的投资组合，或者选择标准差一定时期望收益率最大的投资组合。
（一）两种资产组合的有效集
设一投资组合包括两种金融资产x和y，它们的期望收益率、方差、协方差和投资比例等相关信息见表3-8。
该投资组合的期望收益率和方差为：
两种资产组合下，期望收益率和标准差之间的关系见图3-1。点1至点2间的弧线表示组合投资的可行集，也就是说投资者投资于x资产和y资产所构成的各种可能的组合。弧线上的点表示投资者按某一比例投资于资产x和y所形成的特定组合。观察图3-1，我们可以作以下三种解读。
第一，弧线上有1、2和MV三个点，点1表示投资者将资金全部投资于x资产，点2表示投资者将资金全部投资于y资产。显然，由于点2的位置高于点1，因此，与x资产相比较，y资产的期望收益率和方差都较大。点1表示对x资产进行了100%投资，随着对资产y投资比例的增加，投资组合在可行集上的位置会越来越处于高位，最高位是点2，表示对y资产进行了100%投资。点MV代表具有最小方差的投资组合，该组合也具有最小标准差。
第二，点MV将整条弧线分成两段，其中点MV至点2之间的弧线称为有效集。在不考虑投资者风险承受能力的情况下，这段弧线上的任意组合都能够使投资者在既定风险下实现期望收益率最大化。点1至点MV（不包括点MV）之间是一段“弓形曲线”，它表明，当投资收益上升时，相应的标准差下降，这种情形一直到投资者持有点MV组合时消失。由于点MV是最小方差的投资组合，对比该最小方差组合，点1至点MV（不包括点MV）之间“弓形曲线”上的任何组合，其期望收益率较低，但标准差较高。因此，投资者只考虑点MV（最小方差组合）至点2之间的弧线上的投资组合。
第三，有效集曲线随相关系数的变化而变化，相关系数越高，曲线的弧度越小。当两种资产的相关系数介于+1和-1之间时，可行集是一条处于C、1、2三个点组成的三角形区域内的弧线。当两种金融资产完全正相关，即ρ=1时，此时的有效集是经过点 
和点 
的一条直线；当两种金融资产完全负相关，即ρ=-1时，那么，可以在特定的投资比例下，两条线相交于纵轴C点，构造出一个无风险的投资组合。只要两种资产的相关系数小于1，组合的标准差就小于两种资产各自的标准差的加权平均数。这正是投资组合所要追求的目标。
图3-1 不同相关系数下两金融资产的可行集
（二）多种资产组合的有效集
我们在上文发现了一条概括出各种可能的投资组合的弧线。在现实生活中，人们投资的股票往往不止两种。当n种资产构成投资组合时，所有的各种投资组合都处于一个破鸡蛋壳的区域内（见图3-2）。
图3-2 投资组合的可行集与有效集
构造最优投资组合的原则是，在组合的期望收益率既定的条件下，如何在n种资产上进行资金配置，以寻找到一个最佳的投资权重{ω1，…，ωn}，使该组合的风险最小，其目标函数为：
约束条件是：
多种资产组合的可行集由一个区域构成，它是投资者投资于n种资产所形成的各种可能的投资组合。区域内的点表示投资者按某一比例投资于n种资产所形成的特定组合。观察图3-2，我们可以解读出如下信息：
多种资产组合的有效集是位于区域上方从点M至点A的边缘或边界（图3-2中的黑色实心弧线）。如果不考虑投资者的风险承受能力，在这边界上，投资者可以寻找到在一定风险下，获得最大投资期望收益率的投资组合。而任何位于点M至点A的边缘或边界下方的点，其期望收益率都小于有效集上的点，而标准差却相等。图中M点称做最小方差组合（minimum variance portfolio）。
三、分散化投资组合和风险
（一）多种资产组合投资的效应
根据式（3-22），多种资产组合方差取决于每种资产的方差和资产之间的协方差。如果投资组合由3种资产组成，根据组合方差矩阵计算表，就有3个方差和6个协方差。如果投资组合由100种资产组成，就有100个方差和9900个协方差。因此，如果投资组合由N种资产组成，就有N个方差和N（N-1）个协方差。
为了便于讨论多种资产组合的效应，假设资产组合由N种资产组成，组合中所有的资产具有相同的方差 
，所有的协方差都相同 
，每种资产具有相同的投资比重（1/N）。投资组合的方差为：
当N趋于无穷大时，组合中各种资产的平均方差的权重（1/N）趋向于零，而组合中各对资产平均协方差的权重趋于1。因此，在投资组合中，随着N的增加，投资组合的方差渐渐逼近平均协方差，投资组合的方差事实上成为组合中各对资产的平均协方差。但是，金融资产的涨跌往往是同方向的，平均协方差不可能为零，而是以正数出现。因此，市场风险就是投资组合的平均协方差，经过分散化的作用，平均协方差构成了市场风险（即剩余风险或系统风险）的基础。
（二）风险分散化的局限性
投资组合的效应是降低投资风险，即降低整个投资组合的风险（方差）。投资组合中选取的资产数量越多，意味着分散化投资程度越大，投资组合风险降低的程度也就越大。但是，投资组合的风险分散化有其局限性，投资组合不能分散或化解所有的风险。那么，投资组合无法分散何种风险呢？
投资风险包括系统风险（systematic risk）和非系统风险（unsystematic risk）。非系统风险是指可以经分散化投资消除的风险（diversifiable risk）。这类风险与企业自身的经营特性紧密相关，取决于投资者对公司特定事项（如罢工等）所做出的反应。分散化投资可以使这些风险相互抵消，直至消除（见图3-3）。
图3-3 分散化投资组合的风险
系统风险也称市场风险（market risk）。此类风险是由整个经济系统或市场的综合因素决定的，比如经济周期、宏观经济政策等宏观经济因素，它们产生的风险会波及所有企业的经营，形成系统风险。因此，系统风险是指分散化无法消除的风险，投资者无法通过分散投资来消除由这些综合因素带来的风险。
单个金融资产的收益率与组合方差在一定程度上存在着正相关性，其平均协方差不可能为零。因此，无论采取怎样的分散化投资策略，也不可能将投资组合的风险降为零，风险在降低到一定程度后就渐进地趋于平均协方差（见图3-3）。
投资组合分散化策略只能规避掉由单个金融资产价格剧烈波动所形成的风险。但是，由于市场风险是无法通过分散化而消除的，因此，经济整体的走低还是会使投资组合蒙受相应的损失。
人物专栏3-1 哈里·马科维茨
哈里·马科维茨（Harry Markowitz）1927年生于美国芝加哥，家境殷实，从小酷爱音乐、棒球和阅读，成为一名经济学家是他童年的梦想。
1943年，马科维茨考入芝加哥大学。1947年，在获得学士学位后，他决定在芝加哥大学攻读经济学，并以“不确定经济学”作为其研究方向。马科维茨阅历丰富，1952年，他离开芝加哥大学进入兰德公司。之后，曾先后在通用电气公司、美国联合分析研究中心公司（Consolidated Analysis Centers Inc.）、仲裁管理公司（Arbitrage Management Co.）、IBM等公司和机构供职。并曾在许多大学任教，如曾任加利福尼亚大学洛杉矶分校金融学教授（1968—1969）、宾夕法尼亚大学沃顿（Wharton）商学院金融学教授（1972—1974）、拉特格斯（Rutgers）大学金融学教授（1980—1982）以及纽约城市大学巴鲁克学院教授。马科维茨是美国社会科学研究会会员、美国经济计量学会会员、管理科学研究所董事长、美国金融学会主席。
1952年，马科维茨发表了《证券组合》一文，将以往的个别资产分析推进到了一个新阶段。该文是现代有价证券投资理论的发端。马科维茨的另一部代表作是1959年出版的《资产选择》一书，该书通过分析包含多种证券的资产组合，提出了衡量某一证券以及资产组合的收益和风险的公式和方法。
马科维茨是一个将学术与应用紧密联系在一起的经济学家。由于出色的开创性工作，马科维茨与另两位学者一起获得了1990年的诺贝尔经济学奖。除资产选择理论外，马科维茨在线性规划分析方法和不确定条件下的理性行为理论方面也颇有贡献。
资料来源：改编自罗汉等译，《诺贝尔奖获奖者演说文集：经济学奖（1969—1995）》，上海：上海人民出版社1999年版，第805—808页。
四、资本市场线
（一）无风险借和贷
上文所讨论的资产均为风险性资产，投资组合也是由风险性资产构成的。20世纪60年代，夏普首先发现，如果投资者可以按照某一种无风险利率借入或贷出资金，那么，投资者就有可能将部分资金投资于无风险资产（如国库券），而将另一部分资金投资于由普通股构成的投资组合。也可以借入无风险资金，连同原有的资金一起投资于由普通股构成的投资组合。因此，资金的无风险借和贷拓展了投资组合的可能范围。那么，引入无风险借和贷究竟会对马科维茨的有效集产生什么样的影响呢？
当市场上同时存在风险性金融资产和无风险性金融资产时，投资者的有效集将会发生变化。我们可以将投资组合看做由两项资产构成，一是无风险资产，二是由n种风险性资产构成的风险性资产组合。由于无风险资产的名义回报率是确定的（σF=0），因此，无风险资产与马科维茨投资组合可行集中的任何一种风险资产A的协方差或相关系数均为零（σF，A=ρF，A=0）。因此，由无风险资产和任何一种风险资产构成的一个投资组合的标准差为 
，组合标准差与风险资产A的投资百分比呈线性关系，于是形成了新的可行集，即通过点F向马科维茨可行集所做的射线。但是，有效集只有一条。
观察图3-4，如果从无风险资产所在的点F出发，向马科维茨风险资产组合的可行集区域作切线。我们可以得到切点T，其对应的风险资产组合称为切点组合T（tangent portfolio T）。因此，当市场上存在无风险金融资产时，投资组合的有效集是由无风险资产和风险资产组合中的切点组合T构成的。
图3-4 无风险资产与切点组合T
如果没有卖空机制，有效集为FT两点之间的直线段。也就是说，由无风险资产和风险资产组合构造的投资组合，其可行集为连接无风险资产（0，rf）和风险资产组合 
的一条线段。如果存在卖空机制，投资者按照无风险利率借入资金，连同原有资金一起投资于风险切点组合T，那么，有效集还应该包括FT直线段的向上延升段。在这个有效集上，投资者根据各自的期望效用，可通过调整无风险资产和风险资产组合（组合T）的投资比例，将风险控制在一定水平上，并获得最高的期望收益率。
切点组合T必然是最优风险资产组合（best efficient portfolio），那么，我们为什么没有理由去持有其他的风险资产组合呢？夏普认为，根据“共同期望”假设，在信息对称条件下，投资者不比竞争对手掌握更多的信息，任何奇思妙想都不可能由投资者独享。因此，投资者没有理由与其他投资者持有不同的风险投资组合。
（二）投资组合与市场组合的关系
如果市场上所有的投资者均有着“共同期望”，每个投资者都面临相同的投资有效集，即均按照切点组合T中风险资产的投资比例投资于各种风险资产，那么，切点组合将不再被视为一个简单的风险资产组合，而是被称为市场组合（market portfolio），标准普尔500等就是市场组合的近似。投资组合的期望收益和风险的关系为：
式（3-25）（注：无风险资产和风险资产组合M构成的新组合的期望收益率为：
当ω>0时，表示投资者将初始资金一部分以无风险利率借出，另一部分投资于风险资产组合M；当ω<0时，表示投资者将以无风险利率借入资金，与初始资金一道投资于风险资产组合M；当ω=0时，表示投资者将全部资金投资于风险资产组合M。
新组合的方差为：
鉴于无风险资产方差为零，无风险资产与风险资产组合的相关系数为零，新组合的方差为 
，标准差为σP=（1－ω）σM。
将新组合标准差变化后得：
将上式代入新组合期望收益率公式后，即可得到资本市场线。）中，
M表示市场组合的期望收益率，σM表示市场组合的标准差，σP表示投资组合的标准差。
式（3-25）所表示的直线被称为资本市场线（capital market line）。观察图3-5，它表示当市场上存在无风险资产，市场达到均衡后，投资者最优的投资组合（同时含有无风险资产与风险资产）与市场组合在期望收益率与风险上所存在的联系。
如果投资者的投资组合位于资本市场线之上时，表明市场上存在套利的机会，市场没有实现最优的资源配置，此时的市场价格关系是无法维持下去的。而当投资者的投资组合位于资本市场线之下时，表明此时投资者的投资组合没有实现最优化，投资者可以继续买卖以建立更优的投资组合。只有当投资者的投资组合位于资本市场线上时，投资者才能实现最优化投资，同时市场也达到均衡。（注：朱叶、王伟：《公司财务学》，上海：上海人民出版社2003年版，第76页。）
图3-5 资本市场线