1.2　数学：科学发展的根基

1.2.1　发展基础

1.2.1.1　基石作用

数学是科学发展的基石。人类最为基础的科学研究，就是数学应用，最早的科学活动就是计数，这对于交易、建筑、天文观察等活动至关重要。从天文学的发展来看，古巴比伦人和玛雅人使用数学来记录时间和制定历法，观察天体运动、发展天文学等都依赖于数学工具，如角度测量和周期计算。例如，在古埃及，人们凭借对星星的观察建立365天的日历；在古希腊，希波达摩斯和阿利斯塔克斯等天文学家对天体的运动进行精确的计算和描述，等等。

在中国古代、古埃及、古巴比伦和古希腊，人们就开始使用算术和几何来解决诸如贸易、土地测量和天文导航等实际问题。尼罗河的季节性泛滥与天文事件相关，人们通过观察天狼星的位置变化以预测尼罗河的涨水。古埃及人为了解决尼罗河泛滥后的土地测量问题，发现几何学的基础知识，涉及单位分数、线性方程等问题。其中，埃及人在建造金字塔时就运用了复杂的几何知识。

这些事实说明：数学是最早的科学探索，是人类文明发展的重要标志和推动力量。从普遍意义上讲，解决任何科学问题，首先需要从数学抽象的高度进行分析和研究，体现数学的抽象性。例如，经济问题中生产和商品的交换问题首先是事物之间数量的关系。马克思曾指出，“有用物……都可以从质和量两个角度考察”“为有用物的量找到社会尺度也是这样”。“在考察使用价值时，总是以它的量的规定性为前提”。“商品尺度之所以不同，部分是由于被计量的物的性质不同，部分是由于约定俗成”。其中的“约定俗成”就是数学中的公理。两种商品“1夸特小麦=a英担铁”。“有一种等量的共同东西”“二者中的每一个只要交换价值，就必定能化为这第三种东西”。“一种使用价值就是和其他任何一使用价值安全相等”就如同“确定和比较各种直线型的面积”“分成三角形”“转化为底乘高的一半”进行计算一样。这说明：数学抽象，既是人类科学创立与发展的模板和标准，也是经济社会发展所依赖的方法和结构。

在早期科学探索中，数学的抽象性就使得数学作为一种语言和工具，为科学研究提供精确和系统的表达方式。在抽象符号发展方面，数学的符号体系的发展，为更复杂的抽象思考提供工具。例如，阿拉伯数字的引入确实极大简化了计算方法，并对数学和科学的发展产生了深远的影响。其中，阿拉伯数字使用的是十进制位置记数制，如数字“123”中，“3”表示三个单位，“2”表示二十，“1”表示一百。与罗马数字等其他古老数字系统相比，这种方法简化了数的书写和运算，有力推动了商业交易、科学计算和工程设计等领域的发展。

数学是自古希腊开始，从早期需要观测、测量的学科（如天文学、地理学、物理学等）分离出来，成为建立在其他所有学科基础之上具有方法论意义的学科。毕达哥拉斯（Pythagoras）将数学从经验上升到系统性的学科，确定数学必须是严格遵循逻辑证明得出结论的研究方法，确定数学的本质是遵循严格的逻辑证明。公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得（Euclid）在著作《几何原本》中，阐释几何学是基于公理和推导证明定理的知识系统。这种严格的逻辑推理方式不仅被应用于数学，也影响着人们对自然现象的理解方式，使得人们认为宇宙中的一切都可以通过数学证明和推理来解释。这说明，数学逻辑证明是科学认识世界的基础工具。

因此，数学的抽象性和逻辑性，是认识和研究一切宇宙规律的基础。毕达哥拉斯学派名言“数统治着宇宙”（number rules the universe），即一切自然现象和事物都可以通过数学来描述和解释。只有数学才能解释宇宙最基本和最普遍的规律。公元前347年，柏拉图（Plato）强调数学和几何的重要性，以致许多人认为“上帝乃几何学家”是柏拉图说的。数学作为一种哲学和美学形式，在几何学和数论等领域的应用尤为突出，如黄金分割比例等。英语中数学“math”一词，源于古希腊语“máthêma”，是学习的意思。这表明，任何科学知识的学习，首先都需要理解和掌握数学。换句话说，只有理解和掌握数学的抽象性和逻辑性，才能进行科学的学习和研究。数学是学习和研究科学的基本要求和本质规定。

1.2.1.2　根基扩展

19世纪，随着人类认识客观世界范围的扩大，数学研究领域不断拓展和深化。数学发展呈现出现代数学的重要特点。

（1）研究领域广泛拓展

①非欧几何诞生。尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）和鲍耶·亚诺什（Bolyai János）独立发现非欧几何，直接挑战欧几里得几何唯一性，为黎曼几何发展铺平道路，而黎曼几何是广义相对论的数学基础。

②复分析和解析函数论发展。奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy）对复数函数的严密研究奠定了复分析的基础。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）进一步深化这一领域，提出黎曼面和黎曼映射定理。复分析在数学物理、量子力学等领域具有广泛应用。

③代数结构化发展。埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）的群论研究、阿贝尔（Niels Henrik Abel）的方程解理论等为抽象代数奠定了基础。代数结构理论在20世纪得到极大发展，成为现代数学的重要分支。

（2）数学基础严密化

①分析基础严密化。魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、柯西和黎曼等对微积分进行了严密化研究，定义了极限、导数、积分的严格概念。这一过程奠定了实分析的基础，并推动了20世纪数学分析的进一步发展。

②数理逻辑与集合论兴起。19世纪晚期，康托尔（Cantor）创立集合论，突破传统数学数值观念，提供了处理无穷集合的工具。弗雷格（Frege）和皮亚诺（Peano）的数理逻辑和集合论为20世纪的形式主义数学、数学基础研究如公理化集合论和模型论等提供了核心内容。

（3）数学与自然科学交融

①微分方程广泛应用。数学家如拉普拉斯（Laplace）等在微分方程的研究中取得显著进展。微分方程在20世纪成为物理学、工程学的基本工具，特别是在描述物理现象（如热力学、流体力学、电磁学）等方面得到广泛应用。

②统计学与概率论发展。拉普拉斯和高斯对概率论的研究为现代统计学的形成打下了基础。20世纪，统计学成为各个科学领域的关键工具，概率论的发展也催生出如随机过程等重要理论。

总之，19世纪的数学研究不断拓展和深化了现代数学的根基。