第二节　现值的计算

在第一节中，我们仅仅介绍了单期模型的净现值计算方法。由于投资项目或长期资产都是跨期的，因此，投资项目评估必然涉及今后两年或若干年后所产生的现金流的现值计算问题。年金和非年金是金融资产和投资项目的两种主要的未来现金流形态，年金是指每隔相等的时间流入或流出相等的现金流量，非年金是指在时间和数量上没有规律的现金流量。因此，为了便于计算，必然有针对不同现金流形态的现值计算方法。

一、多期复利

（一）复利现值

我们在上一节介绍了现值的概念并给出了相应的单期现值公式。事实上，长期资产和投资项目所产生的现金流入往往是以一组独立的现金流序列{CF₁，CF₂，…，CF_T}出现，因此，我们须将单期现值计算方法拓展到多期的情况下。

如果现金流之间是相互独立的，不存在相互关联和影响的话，那么多期现金流的现值等于各期现金流现值之和。这就是价值可加性（value additivity）原理，即

假设r_t=r，式（2-7）可以表示为：

式中，r_t是对应于未来t时点的贴现率，r是平均贴现率，T表示投资项目所持续的时期数，CF_t表示t时期的现金流量。

多期投资项目的净现值（NPV）为：

例2-2　某项目投资，初始投资额为100万元，该项目有效期或存续期为3年，每年年底产生的现金流入分别为30万元、40万元和50万元。该项目的贴现率为10%。不考虑目标项目残值。

该投资项目的现金流入现值为：

项目净现值 根据NPV法则，这是一个净现值为负值的项目。

（二）年金现值

1.年金现值

年金（annuity）是指一组期限为T期的现金流序列，每期现金流入或流出的金额是相等的。在现实经济生活中，年金很常见，比如固定债券利息、等额还本付息等。年金可以表示为（C，C，…，C），C为每期期末所产生的现金流量，期限为固定的T期。如果贴现率r_t=r，那么年金的现值公式和净现值分别为：

式（2-10）和（2-11）中，r是平均贴现率，T表示投资项目所持续的时期数，C为每期期末所产生的现金流量，CF₀表示0时期的现金流出量。

2.永续年金现值

永续年金（perpetuity）是指一组没有止境的现金流序列，不仅每期现金流入或流出的金额是相等的，而且现金流入或流出是永续的。永续年金现金流可以表示为（C，C，…，C，…），其中C是每期期末现金流入或流出的金额。假如贴现率r_t=r，则永续年金的现值公式为：

当t趋于无穷大时，永续年金公式可用以下简便公式表示：

我们可以借助永续年金现值公式来推出年金现值的简便公式。将式（2-10）展开，得到式（2-14）：

根据永续年金公式（2-13），式（2-14）可以进一步扩展至式（2-15）：

同理，我们可以计算年金终值，其计算过程为：

3.永续增长年金现值

如果永续年金中的每期现金流不是等额的C，而是在C的基础上以一个固定的速率g匀速增长，而且这种增长趋势会永远持续下去的话，那么此类永续年金称为永续增长年金（growing perpetuity）。永续增长年金现值公式为：

式中，g表示每期增长率，r表示适用的贴现率，C为第1期末所产生的现金流量。当t趋于无穷大，且r大于g时，永续增长年金现值公式可以用下面的简便公式表示：

4.增长年金现值

在年金中，如果每期的现金流是在C的基础上以一个固定的速率g匀速增长的话，并且是在一个有限时期（T）内增长的现金流序列，那么，这样的年金称为增长年金（growing annuity），也可以称为非永续增长年金。其现值公式为：

为了得到增长年金现值的简便公式，我们将增长年金现值看成是一组当前开始的永续增长年金现值与另一组从未来T+1时刻开始的永续增长年金现值之间的差额。因此，增长年金的现值等于当前开始的永续增长年金现值 ，减去另外一组从未来T+1时刻开始的永续增长年金现值 后的余额，即

增长年金在T期末的终值公式为：

二、不同计息方式下的现值

贴现率是投资者的要求收益率或期望收益率。一般来说，收益率是一种“年度化”的收益率（annualized rate of return），表示1年的投资可以获得的收益。事实上，收益率也可以被随意界定为某一时间长度的收益率，比如1个月、1个季度、2年等。因此，对于不同形式的期望收益率，贴现的方式和相应的现值也是不同的。

（一）单利和现值

单利计息法（simple interest）计算投资收益的依据仅仅是期初投资CF₀。由于单利计息法假定不对投资期内产生的收益进行再投资，因此，单利计息法计算的投资收益中不包括前期收益当期再投资所产生的收益。如果用r_H表示期间（T年）的持有期收益率（holding period return），i表示年度单利利率，则T年后现金流入的终值为：

因此，对于未来T时刻的现金流CFT，我们用持有期收益率r_H进行贴现后的现值为：

在单利计息法下，用“年度化”收益率进行贴现，那么，式（2-23）相应地变化为：

（二）复利和现值

复利计息法（compound interest）计算投资收益的依据并不仅仅限于期初投资CF₀。鉴于复利计息法假定对投资期内所产生的收益进行再投资，因此投资收益除了取决于期初投资CF₀之外，还依赖于投资期内的计息期数和所产生的再投资额。

假如未来T时刻的现金流为CF_T，r表示年度复利利率，每年计息1次。那么，用“年度化”收益率r进行贴现后的现值为：

从20世纪70年代开始，欧美一些银行通过增加利息支付频率来吸引投资者。当政府规定贷款上限时，增加利息支付频率更是银行营销的手段。比如将1年付息1次改为1年付息4次来吸引储户。由于储户可以用所获得的利息进行再投资，因此，多次付息事实上产生了1年多次复利的情况。在复利计息法下，假如用N表示1年内计息期的期数，N可能是季度或月或天。那么，贴现率为 ，贴现期为N期，现值为：

显然，贴现值随复利次数的增加而减小，在利率不变的情况下，储户可以从多次付息中获益。

（三）连续复利

当N→∞时，表示每时每刻都在计息并进行复利，我们称此时的计息为连续复利计息（continuous compound interest），此时有：

式中，e是自然对数的底数。

假如未来T时刻的现金流CF_T，当N→∞，则未来T时刻现金流（CF_T）的现值为：

假如当前的现金流CF0，当N→∞，则T时期后的终值为：

在投资学和金融工程学中，通常采用式（2-28）计算现值，这主要是因为采用此公式可以得到更精确的计算结果，同时也便于推导。

在本书中，除非特别说明外，我们在贴现时都是采用式（2-25）来计算现值，表明投资者的要求收益率是按照逐年复利的方式计算。